Exercice 3 : Déplétion

Vous étudiez l'interaction entre deux grandes sphères générées par des petites shères.

Première expérience

Les programmes sont . Procédez comme à l'exercice 2 pour lancer la première simulation et visionner les résultats. Le fichier de sortie bparticle.dat contient les informations suivantes : <temps> <position x1> <position y1> <vitesse x1> <vitesse y1> <position x2> <position y2> <vitesse x2> <vitesse y2>

Fonction de corrélation de paire

Note : Il est difficile de faire tourner des simulations longues sur les machines de la salle informatique. Vous pouvez à la place télécharger directement des fichiers de données. Lisez quand même ce qui suit pour comprendre comment ces données ont été générées.

Lancez de longues simulations (jusqu'à un milion de lignes) pour les fractions volumiques 0.2, 0.4 et 0.6.

La fonction de corrélation de paire g(r) entre les deux grosses sphères est définie dans ce document. Concrètement, on utilise l'invariance par rotation pour obtenir de meilleures statistiques. Tracez un histogramme de la liste des distances entre les sphères, et récupérez ses valeurs avec

n, bornes, p = hist(...)

bornes contient les bornes des cases, et n le nombre d'occurences par case. Remarquez que ces deux tableaux ne sont pas de la même longueur. Définissez une liste bm de la même longueur que n et qui contient les positions des milieux des cases. Les listes (bm,n) donnent la fonction \(G(r)\propto r g(r)\). Tracez la fonction \(g(r)\).

La fonction \(g(r)\) vérifie \(g(r)\underset{r\rightarrow\infty}{\longrightarrow} 1\). Vous n'observez pas ce comportement pour deux raisons :

Tracez la fonction \(g(r)\) correctement normalisée pour les différentes fraction volumiques étudiées.

Potentiel d'interaction effectif

En supposant que la fonction \(g(r)\) donne la densité de probabilité de présence dans un potentiel \(V(r)\) à l'équilibre, quel est le lien entre les deux ? On dit que \(V(r)\) représente le potentiel d'interaction effectif entre les deux sphères. Tracez \(V(r)\) pour les fractions volumiques étudiées.

Comment \(V(r)\) dépend de la température ? De la fraction volumique ?

Discutez la signification et l'origine de \(V(r)\) en regardant le paragraphe sur les forces de déplétion dans cet article.